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Hoje é dia: 10/10/2025


O Sistema de Ellis: A Escala em Cents

A partir da constatação da incompatibilidade entre as oitavas, quintas, quartas, terças e sextas nos sistemas de afinação pitagórico e natural (suas razões aritméticas são incompatíveis) e da necessidade de um sistema lógico-matemático que permitisse a comparação racional entre notas, intervalos, freqüências, etc., Alexander J. Ellis (1814-1890), o tradutor de Hermann Helmholtz, formulou um sistema numérico de conversão que ficou conhecido como “Sistema de Ellis” ou “Escala de Cents”. Este sistema, adotado pela acústica musical e utilizado atualmente na maioria dos sintetizadores e nas placas MIDI dos computadores, foi exposto por Ellis na seção C, do apêndice XX da tradução de On the Sensations of Tone de Hermann Helmholtz[1] (1885:446-57), onde explica vários cálculos para obtenção de cents a partir de qualquer coeficiente ou intervalo.

O Cent (¢), em princípio, é uma divisão do semitom temperado em 100 partes iguais. Dividir um semitom temperado em 100 partes iguais é o mesmo que dividir a oitava em 1200 partes (desde que a oitava seja dividida em 12 semitons temperados => 12 X 100 = 1200). Um cent pode então ser calculado como a raiz 100ª da raiz 12ª do diapasôn 2:1; ou como a raiz 1200ª de 2:1, ou ainda como 2(1/1200), todos números irracionais. Qualquer dessas operações resulta 1,0005777895, o valor do “cent temperado”.

Podemos seguir o raciocínio de Ellis através dos seguintes passos:

Proposta de Ellis

Números Irracionais

Coeficientes

Semitom Temperado

  

= 1,0594630943

Divisão do semitom temperado em 100 partes iguais

 

ou

 

= 1,0005777895

O mesmo que o diapasôn dividido em 1200 partes iguais

(Temperamento de 1200 partes)

  

= 1,0005777895

Tabela 1

Utilizando o coeficiente 1,000577790 podemos construir a escala em cents de Ellis partindo de (1,000577790)0 = primeiro coeficiente, passando por (1,000577790)n = coeficiente n (n>=0 e n<=100), até (1,000577790)100.

 

A escala gerada é a seguinte:

 

¢

COEFICIENTE

¢

COEFICIENTE

¢

COEFICIENTE

¢

COEFICIENTE

¢

COEFICIENTE

0

1,0000000000

26

1,0151315286

52

1,0304920203

77

1,0454808719

200

1,1224620483

1

1,0005777895

27

1,0157180609

53

1,0310874278

78

1,0460849398

300

1,1892071150

2

1,0011559129

28

1,0163049322

54

1,0316831793

79

1,0466893567

400

1,2599210499

3

1,0017343702

29

1,0168921425

55

1,0322792750

80

1,0472941228

500

1,3348398542

4

1,0023131618

30

1,0174796921

56

1,0328757151

81

1,0478992384

600

1,4142135624

5

1,0028922879

31

1,0180675812

57

1,0334724999

82

1,0485047036

700

1,4983070769

6

1,0034717485

32

1,0186558100

58

1,0340696295

83

1,0491105186

800

1,5874010520

7

1,0040515440

33

1,0192443786

59

1,0346671040

84

1,0497166836

900

1,6817928305

8

1,0046316744

34

1,0198332873

60

1,0352649238

85

1,0503231989

1000

1,7817974363

9

1,0052121400

35

1,0204225363

61

1,0358630891

86

1,0509300646

1100

1,8877486254

10

1,0057929411

36

1,0210121257

62

1,0364615999

87

1,0515372810

1200

2,0000000000

11

1,0063740777

37

1,0216020558

63

1,0370604565

88

1,0521448482

 

 

12

1,0069555501

38

1,0221923267

64

1,0376596592

89

1,0527527665

 

 

13

1,0075373584

39

1,0227829387

65

1,0382592080

90

1,0533610360

 

 

14

1,0081195029

40

1,0233738920

66

1,0388591033

91

1,0539696569

 

 

15

1,0087019838

41

1,0239651867

67

1,0394593452

92

1,0545786295

 

 

16

1,0092848012

42

1,0245568230

68

1,0400599339

93

1,0551879540

 

 

17

1,0098679554

43

1,0251488012

69

1,0406608696

94

1,0557976305

 

 

18

1,0104514465

44

1,0257411214

70

1,0412621525

95

1,0564076593

 

 

19

1,0110352747

45

1,0263337839

71

1,0418637829

96

1,0570180406

 

 

20

1,0116194403

46

1,0269267888

72

1,0424657608

97

1,0576287745

 

 

21

1,0122039434

47

1,0275201363

73

1,0430680866

98

1,0582398613

 

 

22

1,0127887842

48

1,0281138267

74

1,0436707604

99

1,0588513012

 

 

23

1,0133739629

49

1,0287078600

75

1,0442737824

100

1,0594630944

 

 

24

1,0139594798

50

1,0293022366

76

1,0448771529

 

 

 

 

25

1,0145453349

51

1,0298969567

77

1,0454808719

 

 

 

 

Este sistema escalar possibilita a comparação entre coeficientes ou frequências tornando mais acurada a noção da magnitude, ou grandeza proporcional, da relação entre elas.

“Quando os ‘números intervalares’ ou seja, os números das alturas de duas notas foram encontrados (ou ‘a razão do intervalo’, ou seja, a razão dos números dados teoricamente por meio dos números das alturas, ou da proporção entre eles, ou do comprimento da corda, ou do ‘comprimento da onda’), é necessário, de forma a ter uma concepção do próprio intervalo, por comparação com o piano ou outro instrumento afinado intencionalmente com o temperamento igual, determinar o número de cents, ou centésimos de um semitom igual, deste intervalo. Os cents foram usados extensivamente nas notas, e ocasionalmente introduzidos no corpo do texto, desta tradução” (ELLIS, 1885:446)[2].

Note que esta escala é geométrica e não acústica[3] já que transforma uma escala de crescimento geométrico (as freqüências tem um crescimento logarítmico formando uma progressão geométrica) em uma possibilidade de visualização linear eqüitativa (progressão de crescimento aritmético), ou seja, as operações entre os coeficientes dos sons e intervalos passam a ser aritméticas (podem ser realizadas através da soma/subtração e “imaginadas” linearmente), como por exemplo, no teclado de um piano que transforma as freqüências dos sons existentes (crescimento logarítmico) em teclas lineares correspondendo a cada uma das cordas e notas (crescimento aritmético, linear).

A fórmula matemática para o cálculo do valor de qualquer coeficiente em cents é:

 
   

 

 

cents = 1200 X logaritmo do coeficiente desejado na base 2

 

Os cents, portanto, são usados como uma pequena medida logarítmico-geométrica na comparação entre grandezas intervalares.

O desconhecimento da utilização dos cents por músicos e professores de música se deve em grande parte às dificuldades históricas inerentes ao entendimento e ao cálculo utilizando números irracionais e logaritmos.

Comparação

Cálculo

Comentários

3ª maior temperada =

e

3ª maior natural = 5:4

 

(1200 X  = 400 cents)

-

(1200X = 386,3137139 cents)

= (400 – 386,3137139) =

13,6862861

A 3ª maior temperada corresponde a 400 cents. A 3ª maior natural 5:4 corresponde a 386,3137139 cents. Resolvendo as expressões (400 – 386,3137139 = 13,6862861), podemos concluir que a 3ª maior temperada é 13,6862861 cents (de um semitom) mais alta que a natural.

 


HELMHOLTZ, H. (1885) On the Sensations of Tone. New York: Dover Publications, p.446-451. Tradução de: The Sensations of tone as physiological foundation for the theory of music, Verlag von Fr. Vieweg u. Sohn, Braunschweig, 1863.
When the ‘interval numbers’, that is the pitch numbers of two notes, have been found (or the ‘interval ratio’, that is ratio of those numbers given theoretically by means of pitch numbers, or numbers in proportion to them, or of lengths of strings assumed to be perfect, or of wave-lengths), it is necessary, in order to determine the number of cents, or hundredths of an equal Semitone, in that interval. Such cents have been extensively used in the notes, and occasionally introduced into the text, of this traslation (ELLIS, 1885:446).
Verbete: CENT - (1967) Enciclopedia Salvat de la música.  Barcelona: Salvat Editores, p.476.