Hoje é dia: 10/10/2025
Do ponto de vista numérico-matemático, uma nota musical pode ser representada por um determinado número inserido num universo ilimitado de números ordenados consecutivamente. Se a nota Dó central, por exemplo, arbitrariamente ocupar a posição 60. Este universo pode ser dividido qualitativamente num universo ideal, no nosso caso, em função do número de partes (5 notas; 7 notas; 12 notas ...) da divisão do diapasôn (da oitava justa).
Por exemplo, utilizando a escala cromática[1] o universo ideal seria a divisão duodenária (12) e a representação dos números a seguinte:
O próximo número o 12 (doze) e os múltiplos de 12 (24, 36, 48, 60, ...) seriam todos a nota dó algumas oitavas ou diapasôn acima da nota dó 0 (zero); o mesmo é verdade em relação a proporção de todas as outras notas, numericamente representadas pelos outros números ordenados.
A tabela abaixo demonstra mais claramente a divisão dos números e notas (esse também é o padrão utilizado nos dispositivos MIDI):
|
Oitava |
Dó |
Dó#/Réb |
Ré |
Ré#/Mib |
Mi |
Fá |
Fá#/Solb |
Sol |
Sol#/Láb |
Lá |
Sib/Lá# |
Si |
|
0 - Ideal |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
1 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
|
2 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
|
3 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
|
4 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
|
5 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
|
6 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
|
7 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
|
8 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
101 |
102 |
103 |
104 |
105 |
106 |
107 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
N.º da nota dividido por 12 |
0 + 12 vezes n |
1 + 12 vezes n |
2 + 12 vezes n |
3 + 12 vezes n |
4 + 12 vezes n |
5 + 12 vezes n |
6 + 12 vezes n |
7 + 12 vezes n |
8 + 12 vezes n |
9 + 12 vezes n |
10 + 12 vezes |
11 + 12 vezes |
Nessa organização dada, se tomarmos qualquer número como, por exemplo, 459 que nota seria esta?
A operação básica para descobrir o nome da nota referente a esta posição, denominada matematicamente de “módulo” é dividir o número 459 pelo universo estabelecido: 12.
459 :12 = 38 e sobra (ou resto) 3.
Note que na divisão o número da sobra ou resto é sempre maior ou igual a zero e menor que o número de partes do universo ideal, ou seja, no nosso exemplo, o número da sobra nunca seria maior ou igual a 12 (doze).
Dois são os valores que nos interessam o primeiro 38, este número inteiro obtido como resultado ou quociente, representa o número de oitavas em que a nota seria encontrada da oitava ideal; o segundo 3, a sobra ou resto, gerador das casas decimais, representa a nota inserida naquela oitava. No caso 3 é igual a nota Ré# ou Mib.
Na verdade o que acontece nesta operação, denominada pela linguagem de programação matemática de Módulo[2], é a divisão do universo dos números inteiros em porções geométricas (intervalos) iguais delimitadas, no nosso caso pela quantidade de notas ou frequências inseridas no diapasôn.
Observe na próxima tabela que se continuássemos até a oitava 38 atingiríamos, consequentemente, a nota do nosso exemplo:
Oitava |
Dó |
Dó# |
Ré |
Ré# |
Mi |
Fá |
Fá# |
Sol |
Sol# |
Lá |
Sib |
Si |
|
0 - Ideal |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
1 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
|
2 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
|
3 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
|
4 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
|
5 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
|
6 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
|
7 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
|
8 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
101 |
102 |
103 |
104 |
105 |
106 |
107 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
N.º da nota dividido por 12 |
0 + 12 vezes n |
1 + 12 vezes n |
2 + 12 vezes n |
3 + 12 vezes n |
4 + 12 vezes n |
5 + 12 vezes n |
6 + 12 vezes n |
7 + 12 vezes n |
8 + 12 vezes n |
9 + 12 vezes n |
10 + 12 vezes |
11 + 12 vezes |
|
38 |
456 |
457 |
458 |
459 |
460 |
461 |
462 |
463 |
464 |
465 |
466 |
467 |
Seguindo o mesmo raciocínio e o tipo de cálculo modular, poderíamos designar as distâncias possíveis de duas notas ou frequências dentro deste universo, já que sob o mesmo ponto de vista da matemática, o Intervalo pode ser medido pela diferença entre dois números, desde que estes números representem as posições escalísticas ideais das notas possíveis já divididas em subconjuntos ou partes iguais ao número de notas inseridas no diapasôn ou oitava.
No nosso exemplo da escala cromática as seguintes possibilidades se apresentam:
Como calcular o intervalo entre as notas que ocupam a posição 69 e 100, respectivamente?
O cálculo das notas:
1ª Nota - 69 : 12 = 5 e sobra 9 portanto a nota Lá na oitava 5;
2ª Nota - 100 : 12 = 8 e sobra 4 portanto a nota Mi na oitava 8.
Diferença entre os números:
100 - 69 = 31
Operação de Módulo:
31 : 12 = 2 e sobra 7
O resultado do intervalo é, observando o número 7 na ordem anterior, igual a Quinta justa ou 7 notas à frente com mais duas oitavas (o número 2) de diferença portanto composto[3].
Organizando melhor os dados: O intervalo entre as notas ocupadas pelas posições 69 e 100 é de 5ª justa ascendente composta e representam as notas Lá e Mi, respectivamente.
A operação de módulo é normalmente empregada em diversas áreas como teoria musical, informática (lógica de programação) e outras.